Diagramas de relatividad especial

Estos diagramas son una continuación de los diagramas de relatividad clásica.

A diferencia de los diagramas de relatividad clásica donde el espacio y el tiempo son entidades diferentes, los diagramas de relatividad especial SON UNA VISUALIZACIÓN DEL ESPACIO-TIEMPO, ya que la componente temporal es una de sus dimensiones.

Igual que con los diagramas de relatividad clásica, el objetivo final es ver las implicaciones que la relatividad especial tiene sobre nuestra concepción de la realidad. Lo vamos a ver en los diferentes "mundos" del Diagrama 10.

Velocidades relativistas

Son velocidades próximas a la velocidad de la luz (c). Todas las velocidades que vamos a ver en los diagramas de relatividad especial son relativistas.

Diagrama 5

Junto a los observadores A (color gris) y B (color azul) del Diagrama 1, tenemos ahora un fotón (color rojo) que se desplaza en el mismo sentido que el observador B.
Partimos de la situación inicial donde los observadores A, B y el fotón se encuentran en el origen (0) con los relojes sincronizados.
Tenemos que después de transcurrir un tiempo T según el observador A, el observador B se encuentra a una distancia vT y el fotón a una distancia cT.
¿Qué mide el obsevador B? Vamos a analizarlo mediante el diagrama de Minkowsky.

Diagrama 6: ct en lugar de t en el eje temporal

En el eje temporal, en vez de t vamos a medir ct, que es la componente temporal del intervalo, la invariante del espacio-tiempo.
En un tiempo T, un fotón recorre la distancia cT. Como los dos ejes (ct, x) miden esta misma distancia, la trayectoria de la luz es a 45º.
Aunque el eje cT tiene dimensiones de distancia, normalmente se indican las unidades correspondientes de tiempo. Si medimos segundos, el eje x medirá entonces segundos-luz; si medimos años, el eje x medirá años-luz, etc. Las unidades del diagrama de ejemplo son segundos y segundos-luz.

Diagrama 7: la transformación de Galileo no es válida para velocidades relativistas

Vamos a ver cómo la transformación clásica (de Galileo) no mantiene la velocidad de la luz constante para el observador B.

Como los dos ejes (ct, x) miden la misma dimensión (distancia), la velocidad $(v= x/ct)$ es un adimensional que corresponde al porcentaje de c. En el diagrama de ejemplo el observador B tiene una velocidad $v = (3/5) c$.
Observar que según este diagrama, en el evento E2, el observador B mediría como velocidad de la luz: $v' = (cT-vT)/cT < 1$, por lo tanto la transformación clásica (de Galileo) no es correcta para velocidades relativistas ya que no mantiene la velocidad de la luz constante (c).
Vemos que la condición para que el observador B mida la velocidad de la luz contante (c) es que las proyecciones del evento de un fotón (E1) sobre los ejes (ct', x') sean iguales de modo que $v' = x'/ct' = 1$. Tenemos que girar el eje x' de modo que la trayectoria de la luz sea la bisectriz de (ct', x'). Lo vamos a ver en el siguiente diagrama.

Diagrama 8: el diagrama de Minkowsky

El diagrama de Minkowski, conocido también como diagrama espacio-tiempo es la representación geométrica de las propiedades del espacio y del tiempo que se desprenden de los postulados de la relatividad especial. Permite visualizar fácilmente los fenómenos que se deducen de las ecuaciones: relatividad de la simultaneidad, dilatación temporal, etc.

Como hemos visto en el diagrama anterior, tenemos que girar el eje x' de modo que la trayectoria de la luz sea la bisectriz de los ejes (ct', x') para que los dos observadores A y B midan la velocidad de la luz constante (c).
Vemos que ambos observadores solo pueden medir la velocidad de la luz constante (c) si miden diferentes tiempos para el evento E1. La velocidad constante de la luz (c) implica que no hay un tiempo absoluto, cada observador (marco de referencia) mide su propio tiempo.

Transformación de Lorentz

Las ecuaciones de la relatividad especial que relacionan las coordenadas de los dos marcos de referencia A y B se conocen como transformación de Lorentz. A diferencia de la transformación de Galileo, estas ecuaciones tienen en cuenta la velocidad constante de la luz.

Históricamente son anteriores al concepto del espacio-tiempo. Fue Hermann Minkowsky el que dio la interpretación geométrica, el que vio que estas ecuaciones son consecuencia y se deducen de la geometría del espacio-tiempo.

$$t'= \gamma(t -vx/c^2)$$ $$x'= \gamma(x -vt)$$ $$\gamma = \sqrt{1-v^2/c^2}$$

Las pendientes de los ejes (ct', x')

Aplicando la transformación de Lorentz podemos obtener matemáticamente las pendientes de los ejes (ct', x') del diagrama de Minkowsky:

Pendiente del eje ct'
El eje ct' corresponde a los eventos donde x' = 0

$x' = \gamma(x-vt) = 0$
$\implies cx - cvt = 0\implies \boxed{ct = (c/v) x}$

Pendiente del eje x'
El eje x' corresponde a los eventos donde t' = 0

$t'= \gamma(t - vx/c^2) = 0$
$\implies ct -vx/c = 0 \implies \boxed{ct = (v/c) x}$

Diagrama 9: la relatividad de la simultaneidad

Las líneas paralelas al eje x son el conjunto de eventos simultáneos para el observador A en un determinado instante T.
Las líneas paralelas al eje x' son el conjunto de eventos simultáneos para el observador B en un determinado instante T'.
Las líneas paralelas al eje ct se encuentran a la misma distancia respecto de A a lo largo del tiempo.
Las líneas paralelas al eje ct' se encuentran a la misma distancia respecto de B a lo largo del tiempo.
Advertir cómo los eventos E1 y E2 simultáneos para el observardor B no lo son para el observador A. Esto se conoce como relatividad de la simultaneidad: eventos que son simultáneos (que suceden al mismo tiempo) en un marco de referencia, pueden no serlo en un marco diferente. La simultaneidad es por tanto relativa, depende del observador. Es imposible afirmar de un modo absoluto que dos eventos suceden al mismo tiempo.

Diagrama 10: el continuo espacio-tiempo

En el Diagrama 4 hemos visto los conceptos de "mundo" y de "ahora" aplicados a la relatividad clásica. Vamos a verlos ahora aplicados a la relatividad especial.
Cuando el observador B se encuentra junto a la casa (evento E1), el "ahora" del observador A es el mundo 1, y el "ahora" del observador B es el mundo 2.
Vemos que en el mundo 1 el fotón se encuentra antes del árbol (evento E2), y en el mundo 2 ha sobrepasado el árbol (evento E3). Tenemos por tanto que cuando B se encuentra junto a la casa (E1), el fotón existe simultánemante tanto antes (E2) como después (E3) del árbol.
Suponiendo que somos el observador A, nuestra intuición nos dice que cuando B está junto a la casa (E1) solo existe el mundo 1. Pero vemos que B vive en un mundo diferente (mundo 2) formado por eventos que se encuentran en nuestro futuro y otros que se encuentran en nuestro pasado. Estamos presenciando la consecuencia más sorprendente de la relatividad especial: la existencia del continuo espacio-tiempo, donde todos los eventos pasados, presentes y futuros existen simultáneamente.
Vamos a analizarlo un poco más en detalle:
- Estamos estudiando qué miden los observadores inerciales A y B en movimiento relativo entre ellos cuando el observador B se encuentra junto a la casa (evento E1).
- Recordar que partimos de la situación inicial donde A, B y el fotón se encuentran en el evento origen (0, 0) con los relojes de A y B sincronizados.
- Observar cómo cuando B se encuentra junto a la casa (E1), el fotón en E2 implica velocidad constante de la luz medida por A.
- Observar cómo cuando B se encuentra junto a la casa (E1), el fotón en E3 implica velocidad constante de la luz medida por B. Las distancias (0 E1) y (E1 E3) son iguales.
- En resumen, para que en el evento E1 (observador B junto a la casa) ambos A y B midan la velocidad de la luz como constante (c), el fotón debe existir simultánemente tanto en E2 como en E3. Pero no solo el fotón, observar también los dos eventos del árbol y los dos eventos del observador A: todos los eventos existen en el continuo espacio-tiempo de cuatro dimensiones.