Dilatación temporal recíproca

Este diagrama es una continuación de los diagramas de relatividad especial.

La dilatación temporal es una de las consecuencias más populares de la relatividad especial, y el ejemplo más habitual para mostrar este efecto es el reloj de luz. En él, un observador advierte que todos los relojes en movimiento atrasan respecto al suyo. Pero se presenta un paradoja: el movimiento es relativo, así que todos los observadores advierten lo mismo. Un observador A advierte que el reloj de B atrasa, y el observador B también advierte que el reloj de A atrasa. ¿Cómo es eso posible?

Para entenderlo hay que tener en cuenta que la dilatación temporal es consecuencia de la relatividad de la simultaneidad (Diagrama 9) y el continuo espacio-tiempo (Diagrama 10):

El espacio-tiempo es un continuo con todos los eventos pasados, presentes y futuros.
Un "mundo" es el conjunto de eventos simultáneos para un determinado observador en un determinado instante T. Es el equivalente al fotograma de una película. Es un SUBCONJUNTO, un "corte" en tres dimensiones (x, y, z) de eventos del espacio-tiempo de cuatro dimensiones (ct, x, y, z).
Los "mundos" del observador A son diferentes de los "mundos" del observador B debido al movimiento relativo entre los dos observadores.
Los "mundos" de los observadores A y B, incluyen eventos donde el reloj del otro observador atrasa respecto el suyo. Vamos a verlo:

Diagrama 11: dilatación temporal recíproca

Partimos del evento origen (0, 0) donde los relojes de los observadores inerciales A (color gris) y B (color azul) están sincronizados.
Cuando el reloj del observador A marca T = 5, el "mundo" del observador A es el mundo 1, que incluye el evento donde el reloj del observador B marca T = 4. Por tanto, A observa que el reloj de B atrasa.
Cuando el reloj del observador B marca T = 5, el "mundo" del observador B es el mundo 2, que incluye el evento donde el reloj del observador A marca T = 4. Por tanto, B observa que el reloj de A atrasa.
Tener en cuenta que los relojes no "parece que atrasan", los relojes atrasan realmente. El mundo 1 es real para A, y el mundo 2 es real para B, no hay un marco de referencia absoluto o privilegiado. Este fenómeno es real y se debe a la existencia del continuo espacio-tiempo, no se puede explicar sin él.

Diagrama 12: calibración de los ejes (matemáticamente)

De la invariancia del intervalo se deriva que la dilatación temporal que mide un observador para relojes en movimiento corresponde al factor de Lorentz: $Δt' = Δt\gamma$.
Por tanto cuando el observador A mide que ha transcurrido un segundo según su reloj desde el evento origen (0, 0), para el observador B mide que ha transcurrido $Δt' = 1\gamma$.

Derivación matemática de la dilatación temporal

Vamos a derivar la dilatación temporal que mide un observador inercial para relojes en movimiento relativo. Para ello, dados un observador y un reloj, vamos a considerar la invariancia del intervalo entre dos eventos: el evento origen (0, 0) donde el reloj marca T = 0 segundos, y el evento E1 donde el reloj marca T = 1 segundo.

Vamos a contemplar dos casos:

El reloj permanece en reposo respecto del observador. En el diagrama, el evento E1 (reloj marca T = 1 segundo) correspondería a E1_A.
El reloj se desplaza con movimiento relativo respecto del observador. En el diagrama, el evento E1 (reloj marca T = 1 segundo) correspondería a E1_B.

Debido a la invariancia del intervalo, tenemos:

$Δs^2 = -c^2 Δt^2 + Δx^2 = -(c'Δt')^2 + (Δx')^2$

En el primer caso, el reloj está en reposo, por tanto $Δx = 0$
En el segundo caso, el reloj se desplaza a una velocidad v, por tanto $Δx' = vΔt'$

$-c^2 Δt^2 + 0 = -c^2Δt'^2 + v^2 Δt'^2$
$-c^2 Δt^2 = -c^2Δt'^2 (1 - v^2/c^2)$
$Δt = Δt' \sqrt{1 - v^2/c^2} \implies \boxed{Δt' = Δt\gamma}$

Diagrama 13: calibración de los ejes (gráficamente)

Tenemos que en los dos marcos de referencia A y B el intervalo es invariante:
$Δs^2 = -c^2 Δt^2 + Δx^2 = -(c'Δt')^2 + (Δx')^2$
Trazando en el diagrama de Minkowsky las hipérbolas $-c^2 Δt^2 + Δx^2 = ±1$ obtenemos en los ejes las marcas correspondientes a la unidad.
Por ejemplo, si trazamos la curva $-c^2 Δt^2 + Δx^2 = -1$:
- En el eje ct, para $Δx = 0$, tenemos que $cΔt = ±1$.
- En el eje ct', para $Δx' = 0$, tenemos en la ecuación del intervalo: $-(c'Δt')^2 = -c^2 Δt^2 + Δx^2 = ±1$. Por tanto, tenemos que $cΔt'= ±1$.
Las demás marcas 2, 3, 4... se pueden obtener dibujando las curvas $-c^2 Δt^2 + Δx^2 = ±2, ±3, ±4, etc$.