Viaje relativista a una estrella

Vamos a estudiar el clásico ejemplo del viaje relativista a una estrella. El ejemplo nos va a permitir ampliar lo ya visto en el diagrama de la dilatación temporal recíproca con otro de los fenómenos de la relatividad: la contracción espacial. En el eje temporal vamos a tomar como unidades años, por tanto las unidades del eje x serán años-luz.

Diagrama 14

Partimos del evento origen (0, 0) en la tierra donde los relojes de los observadores inerciales A (gris) y B (azul) están sincronizados.
El observador A permanece en la tierra.
El observador B emprende un viaje a una estrella distante 3 años-luz de la tierra, en una nave que viaja a una velocidad v = 3/5 c.
Vamos a analizar las distancias y tiempos que han medido los observadores A y B cuando la nave llega a la estrella (lo llamaremos evento E1).

Diagrama 15: punto de vista de la tierra

En el marco de referencia de A, las coordenadas del evento de llegada son: E1_A (5, 3).
En el marco de referencia de B, las coordenadas del evento de llegada son: E1_B (4, 0).
Para el observador A en la tierra, el observador B tarda 5 años en llegar a la estrella y recorre 3 años-luz de distancia.
El observador B en la nave mide que tarda 4 años en llegar a la estrella y recorre 2.4 años-luz de distancia (contracción espacial).
Durante el viaje, A observa que el tiempo pasa más lento para B. Calcula que para B solo han pasado 4 años.
Durante el viaje, B observa que el tiempo pasa más lento para A. Calcula que para A solo han pasado 3,2 años.

Seguramente, el punto más difícil de entender es que para el observador B en la nave, en la tierra solo han pasado 3,2 años cuando llega a la estrella. La respuesta está en la dilatación temporal recíproca.

Diagrama 16: punto de vista de la nave

Para ayudar en la comprensión de lo visto en el Diagrama 15, vamos a ver el diagrama desde el punto de vista de la nave:

Contracción espacial recíproca

Junto a la dilatación temporal, la contracción espacial es otra de las consecuencias de la relatividad de la simultaneidad (Diagrama 9). De modo semejante a como hemos visto en la dilatación temporal recíproca, cada observador mide la distancia entre dos puntos en el espacio o "mundo" formado por el conjunto de eventos simultáneos en su marco de referencia en un determinado instante T. Igual que ocurre con la dilatación espacial, esto lleva a la contracción espacial recíproca entre dos marcos en movimiento relativo.

Del mismo modo que hemos visto en la derivación matemática de la dilatación temporal, la contracción espacial en el sentido del movimiento corresponde al factor de Lorentz: $\boxed{L'=Lγ}$

Se llama longitud propia a la longitud de un objeto en un sistema de referencia inercial en el que este se encuentra en reposo.

Tenemos dos observadores inerciales A (color gris) y B (color azul) en movimiento relativo. Tomando como origen de referencia al observador A, el observador B se desplaza sobre una barra de 3 metros (en su marco de referencia) a la velocidad v = 3/5 c. El factor de Lorentz para esta velocidad es γ = 1.25, por tanto para el observador A, la barra mide 2.4 metros.

Los eventos E1 y E2 son los extremos de la barra (eventos simultáneos) en el instante t = T₁ para el observador A.
Los eventos E3 y E4 son los extremos de la barra (eventos simultáneos) en el instante t = T₂ para el observador A.
Los eventos E1 y E4 son los extremos de la barra (eventos simultáneos) en el instante t' = T' para el observador B.
El observador A tanto en T₁ como en T₂ mide que la longitud de la barra es L = 2.4 metros.
El observador B en T' mide que la longitud de la barra es L' = 3 metros.
La barra se encuentra en reposo en el marco de referencia del observador B, por tanto el observador B mide la longitud propia de la barra.
La contracción de la longitud no es un efecto óptico, realmente la barra mide L = 2.4 metros en los "mundos" de eventos simultáneos del observador A.