Entendiendo la relatividad especial
Entendiendo la relatividad especial
Vamos a ver los conceptos básicos necesarios para entender la relatividad especial. El primero es el concepto de marco de referencia. El segundo es la clave para entender toda la relatividad: la invariante. Partiendo de estos conceptos, estudiaremos:- Cómo concibe el espacio y el tiempo la relatividad clásica. Cuáles son sus invariantes.
- Cómo modifica la relatividad especial estas invariantes y la consecuencia que se deriva de ellas: el espacio-tiempo.
Para describir la trayectoria de un objeto en movimiento necesitamos conocer su posición en un momento determinado. Esto requiere otro objeto que haga de punto de referencia (origen) y un reloj que mida el tiempo. Una vez elegido el origen, podemos especificar la posición del objeto mediante un sistema de coordenadas. Tenemos así nuestro marco de referencia.
Un marco de referencia inercial es un marco que no tiene aceleración y por tanto se desplaza con movimiento rectilíneo uniforme. Dos marcos inerciales se mueven entre ellos a velocidad relativa constante.
Cuando hablamos en relatividad de un observador estamos pensando en el marco de referencia asociado al observador, siendo este normalmente el origen del mismo. Las mediciones que haga el observador van a ser siempre RELATIVAS a su marco de referencia.
- En el diagrama tenemos un observador A (color gris) con un marco de referencia de dos dimensiones espaciales: (x, y).
- El observador A mide que las coordenadas del punto P en su marco de referencia son (Px, Py).
Relatividad clásica
Es la concepción del mundo, del espacio y del tiempo tal como lo percibimos con nuestra intuición.
La primera hipótesis sobre relatividad fue enunciada por Galileo. Puso como ejemplo a dos observadores: uno dentro de un barco que se mueve a velocidad constante y otro en reposo en la orilla. El observador que se encuentra dentro del barco no puede sentir que se está moviendo a menos que mire por la ventana. Galileo llegó a la conclusión que la persona dentro de la nave no puede hacer ningún experimento mecánico que le indique que se está moviendo. Enunció su hipótesis de relatividad de la siguiente manera:
Las leyes de la mecánica son iguales (invariantes) en todos los marcos de referencia inerciales.
En relatividad clásica, esta idea tiene una consecuencia muy importante: la velocidad no es absoluta. Solo puede ser medida respecto (es relativa a) un determinado objeto (marco de referencia). Si cambiamos de marco de referencia, la velocidad será diferente.
Dados dos marcos de referencia inerciales A (color gris) y B (color azul) en movimiento relativo entre ellos, la ecuación que relaciona las velocidades medidas en los dos marcos es: $u' = u - v$
Esto es lo que nos dice nuestro sentido común. Si de un tren que se desplaza a 100 Km/h respecto al andén alguien lanza en el sentido de avance una linterna a 50 Km/h, un observador en el andén verá que la linterna se despaza a 100 + 50 = 150 Km/h.
Las relación temporal y espacial entre los dos marcos A y B la veremos en el Diagrama 3: transformación de Galileo
El espacio y el tiempo NO están relacionados entre sí
Como hemos dicho, la relatividad clásica es la concepción del mundo tal como lo vemos con nuestra intuición. Considera por tanto el espacio y el tiempo como dos entidades independientes. Supone además la existencia de un tiempo universal, que es el mismo para todos los observadores.Las coordenadas de un marco de referencia en el espacio determinan POSICIONES.
Las invariantes de la relatividad clásica
Recordar que una invariante es una cantidad (valor, medición) sobre la que todos los observadores están de acuerdo.- El tiempo es en sí mismo una invariante, ya que existe un mismo tiempo universal para todos los observadores.
- La invariante del espacio es la distancia. Se calcula fácilmente con el teorema de Pitágoras a partir de las componentes medidas en los ejes del marco de referencia. En un marco de tres dimensiones (x, y, z) la distancia entre dos puntos es:
- En el diagrama tenemos dos observadores A (color gris) y B (color azul) con marcos de referencia de dos dimensiones.
- Advertir que el marco B tiene translación y rotación respecto del marco A.
- El observador A mide en su marco de referencia que la distancia es: $d^2 = Δx^2 + Δy^2$
- El observador B mide en su marco de referencia que la distancia es: $d^2 = (Δx')^2 + (Δy')^2$
- Vemos que los dos miden la misma distancia (invariante), aunque en sus respectivos marcos de referencia las componentes $Δx, Δy, Δx', Δy'$ sean diferentes.
Relatividad especial
Los postulados de la relatividad especial enunciados por Einstein en 1905, amplían el principio de relatividad de Galileo de la mecánica a todas las leyes de la física. Pero introducen un cambio fundamental: la velocidad no es relativa, existe un límite máximo que no puede ser sobrepasado.
- Principio especial de relatividad. Las leyes de la física son iguales en todos los marcos de referencia inerciales. Es decir, no existe un marco inercial privilegiado que se pueda considerar como absoluto.
- Invariancia de la velocidad de la luz. La velocidad de la luz en el vacío (c) es una constante universal.
Estos postulados modifican la concepción clásica del espacio y del tiempo. La velocidad no es relativa al observador como afirma la relatividad clásica, sino que existe una constante universal MÁS FUNDAMENTAL que el espacio y el tiempo: la velocidad de la luz. La velocidad entendida como la concibe la relatividad clásica es una aproximación correcta siempre que las velocidades consideradas no estén cerca de la velocidad de la luz (c).
En el ejemplo anterior del tren, si en vez de lanzar una linterna se lanza un fotón de luz, el observador del andén medirá siempre la misma velocidad de la luz, cualquiera que sea la velocidad del tren.
El espacio y el tiempo están relacionados entre sí
Advertir que la velocidad constante de la luz (c) relaciona la distancia y el tiempo: $c = Δd / Δt$. Luego la distancia y el tiempo NO SON INVARIANTES (deben adaptarse de modo que c permanezca constante) y además ESTÁN RELACIONADOS ENTRE ELLOS. En relatividad, el espacio y el tiempo están por consiguiente relacionados en una estructura de cuatro dimensiones (una temporal y tres espaciales) llamada espacio-tiempo.
Recordar que las coordenadas de un marco de referencia en el espacio determinan posiciones. Las coordenadas de un marco de referencia en el espacio-tiempo determinan EVENTOS.
La invariante del espacio-tiempo: el intervalo
Del mismo modo que en el espacio la invariante es la distancia, el espacio-tiempo tiene también una invariante llamada intervalo. En el caso del espacio-tiempo con geometría plana, que es el caso estudiado por la relatividad especial, el intervalo es:
Esta invariante es consecuencia directa de los postulados de la relatividad especial y se puede obtener directamente a partir de ellos. Es muy notable la semejanza con la invariante del espacio: del mismo modo que en el espacio hay una constante en la distancia entre dos puntos, en el espacio-tiempo hay una constante entre la "distancia" de dos eventos. Esto revela propiedades físicas fundamentales relacionadas con la naturaleza del espacio y del tiempo.
Como ya hemos señalado, repetimos que el intervalo es la clave para entender el espacio-tiempo. Esta invariante supone que dos observadores siempre van a estar de acuerdo en el valor del intervalo (la "distancia") entre dos eventos del espacio-tiempo. Dicho de otro modo, los eventos del espacio-tiempo están "fijados", el espacio-tiempo es un continuo, una estructura que contiene simultáneamente todos los eventos en el tiempo y en el espacio. Vamos a verlo con más detalle en el Diagrama 10: el continuo espacio-tiempo.
Observar que:
- La componente temporal aparece con dimensiones de longitud $(cΔt)$ y con signo opuesto a la componentes espaciales. Diferentes observadores en movimiento relativo no van a estar de acuerdo en la magnitud de esta componente entre dos eventos del espacio-tiempo. Este es el fenómeno conocido como dilatación temporal.
- El intervalo de la luz es siempre cero $(Δs^2 = 0)$ en todos los marcos de referencia. La luz se encuentra fuera del espacio y del tiempo. Desde su punto de vista, un fotón tarda cero en llegar de una estrella a nosotros y recorre una distancia de cero.
El diagrama de Minkowski nos va a permitir visualizar todos los fenómenos relacionados con la relatividad especial sin la necesidad de ecuaciones matemáticas. Lo vamos a ver en los diagramas de relatividad especial.
Vamos a verificar la invariancia del intervalo en el conocido ejemplo del reloj de luz:
- En la imagen izquierda, un observador A (color gris) se encuentra dentro de un tren y observa un fotón que rebota entre dos espejos situados en el techo y en el suelo. El fotón marca una unidad temporal cada vez que rebota en el suelo. La trayectoria del fotón en su marco de referencia es vertical.
- En la imagen derecha, un observador B (color azul) se encuentra en el andén y observa pasar el tren a velocidad v. En su marco de referencia la trayectoria del fotón describe triángulos debido al movimiento de avance del tren.
- Como la velocidad de la luz es constante, el fotón en el marco B tarda más tiempo en su trayectoria entre el suelo y el techo porque tiene que recorrer más distancia, y en consecuencia marca el tiempo más despacio.
Marco de referencia A
- En su movimiento vertical del suelo al techo y nuevamente al suelo, un fotón recorre la distancia: $2Δy$.
- En un tiempo $Δt$ un fotón recorre la distancia: $cΔt$.
$cΔt = 2Δy$
$\implies c^2Δt^2 = (2Δy)^2$
$\implies -(2Δy)^2 = -c^2Δt^2$
Marco de referencia B
- La trayectoria realizada por el fotón ha descrito un triángulo en el marco de referencia B.
- Por Pitágoras tenemos que el fotón ha recorrido la distancia: $2\sqrt{Δy^2 + (Δx'/2)^2}$
$cΔt' = 2\sqrt{Δy^2 + (Δx'/2)^2}$
$\implies c^2(Δt')^2 = (2Δy)^2 + (Δx')^2$
$\implies -(2Δy)^2 = -c^2(Δt')^2 + (Δx')^2$
Igualando en los dos marcos A y B
$-(2Δy)^2 = \boxed{Δs^2 = -c^2Δt^2 = -c^2(Δt')^2 + (Δx')^2}$